在自然科學、社會科學及日常社會生活中，人們廣泛地使用各種模型來表示現(xiàn)實事物。模型反映了實物某一方面的屬性和特征，是對現(xiàn)實事物的一種表示形式。例如，地球儀是地球的一種模型，軍事演習是實戰(zhàn)的一種模型，實驗室的某些裝置是工廠大型設(shè)備的模型等。以上這些模型是以實物來表示實物，可以稱為具體模型或物理模型。如果對現(xiàn)實事物進行簡化、抽象,用方程、公式、圖表、曲線等是現(xiàn)實事物的數(shù)學模型.數(shù)學模型舍棄了現(xiàn)實事物的具體特點而抽象出了它們的共同變化規(guī)律.因此,這類模型稱為抽象模型. 為了對控制系統(tǒng)進行定性和定量的分析研究,深刻地揭示控制科學的內(nèi)在規(guī)律,建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型成為一項必不可少的工作.
控制系統(tǒng)的數(shù)學模型主要是指描述控制系統(tǒng)及其各組成部分特性的微分方程、狀態(tài)空間表達式、差分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊理論而建立的模型等.
建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型有兩種基本方法:一種是根據(jù)控制系統(tǒng)內(nèi)部的運動規(guī)律,分析各種變量間的因果關(guān)系而建立起來的系統(tǒng)的數(shù)學模型.這種方法稱為機理建模或理論分析法；另一種方法則是根據(jù)實際測試的數(shù)據(jù)或計算數(shù)據(jù),按一定的數(shù)學方法,歸納出系統(tǒng)的數(shù)學模型,這種方法稱為系統(tǒng)辨識法或試驗分析法.在對控制系統(tǒng)的運動機理、內(nèi)部規(guī)律比較了解的情況下,適合應(yīng)用機理建模法.用這種方法建立的數(shù)學模型,能科學地揭示系統(tǒng)內(nèi)部及外部的客觀規(guī)律,因而代表性強,適應(yīng)面廣.在系統(tǒng)運動機理復(fù)雜很難掌握其內(nèi)在規(guī)律的情況下,往往需要按系統(tǒng)辨識的方法得到系統(tǒng)的數(shù)學模型.這種模型是根據(jù)具體對象而得出的,因而適應(yīng)面較窄,通用性差.
建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,是分析研究控制系統(tǒng)的基礎(chǔ).描述各種客觀事物內(nèi)在規(guī)律最基本的數(shù)學工具就是微分方程.下面,我們通過一些實例,來討論建立控制系統(tǒng)微分方程的一般過程.
建立控制系統(tǒng)微分方程的主要步驟有:
(1)明確要解決問題的目的和要求,確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量.
(2)全面深入細致地分析系統(tǒng)的工作原理、系統(tǒng)內(nèi)部各變量間的關(guān)系.在多數(shù)情況下,所研究的系統(tǒng)比較復(fù)雜,涉及到的因素很多,不可能把所有復(fù)雜的因素都考慮到.因此,必須抓住能代表系統(tǒng)運動規(guī)律的主要特征,舍去一些次要因素,對問題進行適當?shù)暮喕?必要時還必須進行一些合理的假設(shè).
(3)如果把整個控制系統(tǒng)作為一個整體，組成控制系統(tǒng)的各元器件及裝置則可以成為子系統(tǒng)。從輸入端開始，依照各子系統(tǒng)所遵循的物理定律或其他規(guī)律，寫出子系統(tǒng)的數(shù)學表達式.
(4)消去中間變量，最后得到描述輸入變量與輸出變量關(guān)系的微分方程式。
(5)寫出微分方程的規(guī)范形式，即所有與輸出變量有關(guān)的項應(yīng)在方程左邊，所有與輸入變量有關(guān)的項應(yīng)在方程右邊，所有變量均按降階排列。
系統(tǒng)微分方程的一般形式是
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和![]( "中國<a title=")
控制元件網(wǎng)"/>的方程。很顯然，這個系統(tǒng)的輸入變量為![]()
。為了使問題簡化，我們忽略質(zhì)量塊重力的影響。
作用于質(zhì)量塊的合力P
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消去中間變量P,寫成規(guī)范形式
![圖２．１ 機械運動系統(tǒng)]()
圖１ 機械運動系統(tǒng)
例2 直流電動機的數(shù)學模型。直流電動機可以在較寬的速度范圍和負載范圍內(nèi)得到連續(xù)和準確地控制，因此在控制工程中應(yīng)用非常廣泛。直流電動機產(chǎn)生的力矩與磁通和電樞電流成正比，通過改變電樞電流或改變激磁電流都可以對電流電機的力矩和轉(zhuǎn)速進行控制。圖2是一個電樞控制式直流電動機的原理圖。在這種控制方式中，激磁電流恒定，控制電壓加在電樞上，這是一種普遍采用的控制方式。
設(shè) ![]()
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根據(jù)電路的克希霍夫定理
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其中![]()
式中![]()
消去中間變量![]()
,![]()
整理后
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稱為直流電動機的電氣時間常數(shù)； ![]()
,![]()
(5)
![]()
.在穩(wěn)定狀態(tài)下，流入液箱的水和流出液箱的水流量相同，均為![]()
.當流入液箱的流入量有一增量![]()
的微分方程。
液箱水位的變化為
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與出口閥的阻力和液箱水位有關(guān)。一般情況下，![]()
是非線性關(guān)系。假設(shè) ![]()
和 ![]()
式中 ![]()
，是常量。
消去中間變量 ![]()
(6)
若要研究流入量 ![]()
的影響，描述二者關(guān)系的微分方程為
![圖2.3 液位系統(tǒng)]()
圖3 液位系統(tǒng)
例4 熱力系統(tǒng)的數(shù)學模型。圖4是一個電加熱熱水器的示意圖。我們現(xiàn)在來建立熱水器出口水溫受加熱器加熱量影響的微分方程，為了使問題簡化，假設(shè)沒有熱量向周圍環(huán)境散失，加熱器容器中的溫度是均勻的，都具有和出口溫度相同的溫度。設(shè)加熱器出口水溫相對于穩(wěn)定狀態(tài)下的增量為 ![]()
為熱水器中水的質(zhì)量 ![]()
為水的比熱容 ![]()
為電加熱器傳輸給水的熱流量的增量 ![]()
為水的流量 ![]()
整理后為
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，則有
![圖２．４電熱水器]()
圖４ 電熱水器
由此可以看出合理假設(shè)和簡化在建立系統(tǒng)的數(shù)學模型中是很重要的。不同的簡化和假設(shè)會得到不同的模型。假設(shè)的條件太多，過分簡化，雖然數(shù)學模型簡單，數(shù)學處理容易，但可能無法反映出事物的主要特征或達不到應(yīng)有的準確性。若考慮的因素太多，數(shù)學模型將變得很復(fù)雜，數(shù)學處理困難，增加了解決問題的難度，有時甚至會出現(xiàn)次要因素掩蓋了事物主要特征的現(xiàn)象，得不出正確的結(jié)果。假設(shè)、簡化到什么程度，并無統(tǒng)一的規(guī)定，主要根據(jù)具體問題和實際經(jīng)驗來決定。
系統(tǒng)的微分方程建立以后，還必須對其進行驗證。要把根據(jù)數(shù)學模型進行理論分析的結(jié)果和實際結(jié)果或?qū)嶒灲Y(jié)果相比較，證明數(shù)學模型的合理性。若不符合要求，則必須進行修改。一個成熟的數(shù)學模型往往要經(jīng)過多次修改和驗證才能確定下來。
建立數(shù)學模型是一個培養(yǎng)綜合應(yīng)用各種知識，不斷創(chuàng)造新的過程。建立數(shù)學模型需要有綜合分析和抓住問題本質(zhì)的能力，需要有較高的抽象概括能力和較高的數(shù)學素養(yǎng)，也需要有科學的思維方法。數(shù)學模型不僅僅用來解釋已發(fā)生的現(xiàn)象，更重要的是要預(yù)測事物的發(fā)展，為未來的決策提供指南。因此，建立數(shù)學模型的過程也是新觀點、新方法產(chǎn)生的過程，是一種不斷創(chuàng)新的過程。培養(yǎng)創(chuàng)新的意識、創(chuàng)新的能力，和掌握科學知識是同等重要的。
(3)、脈沖函數(shù)
脈沖函數(shù)定義為：
強度為A的脈沖函數(shù)可表示為:
在t0時刻出現(xiàn)的單位脈沖函數(shù)為
注意：脈沖函數(shù)僅用于分析研究，現(xiàn)實中并不存在。
(4)、正弦函數(shù)
正弦函數(shù)的數(shù)學表達式為：
正弦函數(shù)是控制系統(tǒng)中常用的一種典型外作用，很多實際 的隨動系統(tǒng)就是常工作在此外作用下。更為重要的是系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的響應(yīng)，即頻率 響應(yīng)是自動控制理論中研究系統(tǒng)性能的重要依據(jù)。 
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