快速傅里葉變換(FFT)作為射頻電路中一種常用的頻譜分析工具，它實(shí)現(xiàn)了時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，是數(shù)字信號(hào)分析中最常用的基本功能之一，F(xiàn)FT也是區(qū)分射頻技術(shù)高低的一個(gè)重要分水嶺，F(xiàn)FT 頻譜分析是否與傳統(tǒng)的掃頻式頻譜儀類似，也具有分辨率帶寬(RBW) 的概念？如果具有RBW ，那么FFT 的RBW 又與什么因素有關(guān)呢？接下來就給大家一一解答這些疑問。
眾所周知，F(xiàn)FT 變換是在一定假設(shè)下完成的，即認(rèn)為被處理的信號(hào)是周期性的。圖1給出了一正弦波信號(hào)的采集樣點(diǎn)波形，如果對(duì)Frame 1作FFT 運(yùn)算，則會(huì)對(duì)其進(jìn)行周期擴(kuò)展。顯然，在周期擴(kuò)展的時(shí)候 ，造成了樣點(diǎn)的不連續(xù)，樣點(diǎn)不連續(xù)等同于相位不連續(xù)，相當(dāng)于引入了相位調(diào)制，這將導(dǎo)致產(chǎn)生額外的頻率成分，該現(xiàn)象稱為頻譜泄露。
圖1. 周期擴(kuò)展引起樣點(diǎn)的不連續(xù)
頻譜泄露產(chǎn)生了原本信號(hào)中并不包含的頻率成分，具有諸多危害：首先頻率測(cè)不準(zhǔn)了，通常決定信號(hào)頻率都是選取幅度最高的譜線，但是幅度最高譜線往往并不是載波，因此造成頻率測(cè)試結(jié)果存在比較明顯的偏移，這是調(diào)相的影響；其次測(cè)得的頻譜幅度變小了，本來只有一根譜線，發(fā)生頻譜泄露后產(chǎn)生眾多譜線，但是信號(hào)總功率是一定的，因此測(cè)得的信號(hào)幅度一定會(huì)減小；另外，頻譜泄露會(huì)擾亂測(cè)試，尤其在觀測(cè)小信號(hào)時(shí)，較強(qiáng)的頻譜泄露成分可能淹沒比較微弱的信號(hào)。
如何避免或者降低頻譜泄露呢？這就需要使用下文介紹的時(shí)間窗(Window) 技術(shù)。
如果能夠消除樣點(diǎn)不連續(xù)，就可以消除頻譜泄露。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，需要引入時(shí)間窗(Window)，時(shí)間窗包含的樣點(diǎn)數(shù)目與信號(hào)相同，而且兩端的樣點(diǎn)值通常為0。在FFT 之前，時(shí)間窗與波形相乘，周期擴(kuò)展后可以保證樣點(diǎn)的連續(xù)性。
圖2以Kaiser Window 為例，給出了時(shí)間窗波形、原始波形以及加了時(shí)間窗之后的波形。由圖可知，引入時(shí)間窗后，在周期擴(kuò)展后并不會(huì)造成相位不連續(xù)，從而消除頻譜泄露效應(yīng)。
值得一提的是，頻譜泄露是無法完全消除的，雖然引入合適的時(shí)間窗使得周期擴(kuò)展后相位連續(xù)，但是又等效形成了特殊的射頻脈沖信號(hào)，所以還會(huì)產(chǎn)生一些新的頻率成分，只是這些頻率成分非常微弱。換句話說，時(shí)間窗只能盡量抑制頻譜泄露，而無法完全消除！
圖2. 引入時(shí)間窗以改善頻譜泄露效應(yīng)
在FFT 應(yīng)用中，時(shí)間窗就相當(dāng)于一個(gè)濾波器，不同的時(shí)間窗具有不同的頻響特性，比如不同的邊帶抑制和矩形因子等，相應(yīng)的幅度測(cè)試精度也不同。雖然與傳統(tǒng)的掃頻式頻譜儀不同，但是基于FFT 的頻譜分析中依然有RBW 的概念，RBW就是指時(shí)間窗對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)的3dB 帶寬，時(shí)間窗寬度及類型就決定了RBW 的大小。
RBW 稱為分辨率帶寬，決定了頻譜分析中對(duì)多個(gè)頻率的分辨能力，RBW 越小，分辨率越高。RBW 與時(shí)間窗寬度(即Window Time) 成反比，但即使時(shí)間窗寬度相同，不同的時(shí)間窗類型對(duì)應(yīng)的RBW 也不同，存在一個(gè)因子k，并滿足如下關(guān)系：
下面以矩形時(shí)間窗為例，討論一下RBW 與時(shí)間窗寬度具體有什么關(guān)系呢？矩形窗的雙邊帶頻譜為Sa(ω) 函數(shù)，如圖3所示，假設(shè)窗口時(shí)間為T，則在頻率為 ±N*2π/T ( N 為非零正整數(shù)) 處均為零點(diǎn)。矩形窗的雙邊帶頻譜可以寫為如下表達(dá)式：
對(duì)于圖3所示的頻譜，相對(duì)峰值電平下降3dB的頻點(diǎn)位于何處？從電壓的角度講，下降3dB的頻點(diǎn)處，幅值降為峰值的 √2/2 。
圖3. 矩形窗的頻譜特性(雙邊帶頻譜)
簡(jiǎn)便起見，利用圖4所示的圖解法，令sin(x)/x=√2/2 ，則x≈1.39 。經(jīng)計(jì)算ω=2.78/T ，f=ω/2π≈0.443/T 。因此，圖3所示的頻譜中，3dB帶寬為：
圖4. x=1.39處，幅值下降3dB
如前所述，F(xiàn)FT 過程中會(huì)進(jìn)行周期擴(kuò)展，因此FFT 是將信號(hào)當(dāng)作一個(gè)周期信號(hào)來對(duì)待的。FFT得到的頻點(diǎn)也是離散的，這些離散的頻點(diǎn)稱為freq. bin，兩個(gè)相鄰bin 之間的頻間距為周期擴(kuò)展后總時(shí)長(zhǎng)的倒數(shù)。bin 間距決定了頻率分辨率，bin 間距越小，頻率分辨率越高。假設(shè)進(jìn)行了N次周期擴(kuò)展，則bin間距為
類似于掃頻式頻譜分析，F(xiàn)FT 頻譜分析中也有RBW 的概念，盡管不存在IF filter 。在FFT 頻譜分析中，RBW 決定于時(shí)間窗幅頻特性的3dB帶寬。不同的時(shí)間窗類型，具有不同的RBW 表達(dá)式。對(duì)于矩形窗，RBW 為
從上式可以看出，矩形窗的RBW 并不等于bin 間距，而往往是大于bin 間距。頻譜分析應(yīng)用中通常提及RBW ，但RBW 與bin 間距存在如下關(guān)系
式中k為常系數(shù)，取決于時(shí)間窗的類型。
常見的時(shí)間窗類型包括：Kaiser、Rectangular、Hamming、Hanning、Blackman-Harris、Flat-Top等。下圖給出了不同時(shí)間窗類型對(duì)應(yīng)的k因子大小。不同的時(shí)間窗，頻譜泄露、幅度測(cè)試精度及RBW 均不同，測(cè)試時(shí)應(yīng)該根據(jù)待測(cè)信號(hào)的特點(diǎn)進(jìn)行選擇。
圖5. 不同時(shí)間窗類型對(duì)應(yīng)的k因子不同
小結(jié)
今天主要給大家介紹了FFT 頻譜分析中的RBW 由來，雖然不像掃頻式頻譜儀那樣具有IF filter ，但是FFT 頻譜分析中依然存在RBW 的概念。文中以矩形時(shí)間窗為例，通過數(shù)學(xué)的方式解釋了RBW 與時(shí)間窗寬度的關(guān)系。當(dāng)采用不同的時(shí)間窗時(shí)，RBW 與時(shí)間窗寬度的關(guān)系也是不同的，這完全是由時(shí)間窗對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)決定的。頻譜測(cè)試時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)測(cè)試的信號(hào)選擇合適的時(shí)間窗。
